a) Arătați că $\displaystyle \det A = -5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(-1) \cdot B(-1)+3A=4B(a)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ cu proprietatea că $\displaystyle X \cdot (A-2I_2)=B(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=0$, pentru orice număr real $\displaystyle n \neq m$.

b) Pentru $\displaystyle m=3$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=-4$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-2}{x^3}(x+2)$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to 1}\frac{f(x)}{x^2-1}=-1$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+1)dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)+1)\ln x dx = \frac{2e^3+1}{9}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a \in (0,\infty)$, pentru care $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (f(\sin x)+f(\cos x))\operatorname{tg} x dx = \ln a$.

a) Arătați că $\displaystyle \det B(1) = 3$.

b) Arătați că nu există $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ astfel încât $\displaystyle B(a) \cdot B(a) = 8I_2 - A$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A \cdot B(a) - B(a) \cdot A) \le 0$, oricare ar fi $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * (-2) = 13$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție '$\displaystyle *$'.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle (n+2) * (n-1) \le 3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 6(x-1)(x-2)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - f(x)}{f'(x)}$.

c) Arătați că $\displaystyle 5 \le f(x) \le 6$, oricare ar fi $\displaystyle x \in [1,2]$.

a) Calculați $\displaystyle \int (f(x) + x^2 - 3) dx$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle f$, care verifică relația $\displaystyle F(0) = 2$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle (0, +\infty)$.