a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = a(3-a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=0$ demonstrați că sistemul de ecuații este incompatibil.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$, și $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle f(1) - f(-1) = 12$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X-2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că toate rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ sunt numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{-2(x^2-x+2)}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x+1) - f(x))$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f^2(x) dx = \frac{4}{3}$.

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = xf(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x t \cdot f(t) dt$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A=-5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A\cdot A-2A-5I_2=O_2$, unde $\displaystyle O_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A-xI_2)=10$.

a) Arătați că $\displaystyle 2\circ(-3)=-3$.

b) Demonstrați că elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$” este $\displaystyle e=0$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ(x-3)\ge -3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(x-2)e^x$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{e^x}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)\ge -1$, pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

a) Calculați $\displaystyle \int f(x)e^{-x}dx$, $\displaystyle x\in(0,\infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ este o primitivă a funcției $\displaystyle g$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle H:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle h(x)=g(x)-f(x)$, știind că $\displaystyle H(1)=3$.