a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A \cdot A - 4A = 5I_2$.

c) Determinați valorile naturale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A \cdot B(x)) < 10$.

a) Arătați că $\displaystyle (-1) \circ 2 = -3$.

b) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = (x-1)(y-1)-1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m \circ n = 1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției.

c) Demonstrați $\displaystyle f\left(\frac{1}{2024}\right) + f(2024) \ge \frac{2}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{e^x} dx = - \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)+2e^x\right) dx = -1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle F(x) = (x-3)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$, și funcția $\displaystyle F$ este concavă pe intervalul $\displaystyle (-\infty, 1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = A(m+n+mn)$, pentru orice numere reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle m, n, p$ sunt numere reale pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) \cdot A(p) = A(0)$, atunci $\displaystyle (1+m)(1+n)(1+p)=1$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = \log_3 ((3^x-3)(3^y-3)+3)$, pentru orice $\displaystyle x, y \in M$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x * x * x = x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{3(1-x)}{(x^2+3)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x))^x$.

c) Demonstrați că, pentru orice $\displaystyle x \in [-1, \infty)$, $\displaystyle f(x) \ge 1$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f(x)}{\ln(x+2)}dx$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \int f(x)(x^2+1)dx$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

c) Arătați că $\displaystyle F\left(-\frac{1}{2023}\right) < F\left(-\frac{1}{2024}\right)$, unde $\displaystyle F:(-2, +\infty) \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.