a) Rezolvați ecuația $\displaystyle \det(A(m))=0$, $\displaystyle m\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle A^{-1}(-1)=\frac{1}{2}A(0)$.

c) Determinați $\displaystyle X\in\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle A(-1)\cdot X=B$.

a) Aflați numărul rațional $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x*a=a$, $\displaystyle \forall x\in\mathbb{Q}$.

b) Dați exemplu de două numere raționale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ care nu sunt numere întregi și pentru care $\displaystyle x*y$ este număr întreg.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$, $\displaystyle f(x)=5x-15$, are proprietatea $\displaystyle f(x\cdot y)=f(x)*f(y)$, $\displaystyle \forall x,y\in\mathbb{Q}$.

a) Arătați că $\displaystyle f$ este continuă în punctul $\displaystyle x_0=1$.

b) Stabiliți dacă $\displaystyle f$ este derivabilă în punctul $\displaystyle x_0=1$.

c) Arătați că $\displaystyle f$ este descrescătoare.

a) Calculați $\displaystyle f(1)$.

b) Arătați că $\displaystyle f(x+1)+f(x)=\frac{1}{x+1}$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)\geq\frac{1}{2(x+1)}$, $\displaystyle \forall x\in(1,\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \det(A(1))$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \text{rang } A(x) = 3$.

c) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (x,a)$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(a) = A(a) \cdot A(x) = A(-4)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{3} = \frac{4}{5}$.

b) Se consideră funcția injectivă $\displaystyle f: G \to (0, \infty)$, $\displaystyle f(x) = \frac{2+x}{2-x}$. Demonstrați că $\displaystyle f(x*y) = f(x) \cdot f(y)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in G$.

c) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{2} * \frac{1}{3} * \dots * \frac{1}{30} = \frac{60}{31}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x-7}{(x+1)^2(x-2)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{-1,2\}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul în care graficul funcției $\displaystyle f$ intersectează axa $\displaystyle Oy$.

c) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții reale distincte pentru $\displaystyle x \in (2, +\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^2}{1-x^2}dx = \ln 2 - 1$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției date este concavă pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

c) Pentru orice $\displaystyle n$ număr natural se definește șirul $\displaystyle I_n = \int_0^1 (1-x^2)^n dx$. Demonstrați că $\displaystyle (2n+3)I_{n+1} = 2(n+1)I_n$, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.