a) Calculați $\displaystyle \det(A(0))$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x)A(y)-2A(x)-2A(y)=A(2024)$, pentru orice $\displaystyle x, y$ numere reale.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ știind că $\displaystyle A(m)A(n)=A(-2022)$.

a) Calculați $\displaystyle 1 \circ (-2024)$.

b) Arătați că $\displaystyle e=3$ este elementul neutru.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{x-1} \circ 2^{x+1} = 4$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x)$.

b) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle A(0,1)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{2x} \ge 2x+1$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int (x^2+x+1)f(x)dx = \frac{x^3}{3}+x+C$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ are un singur punct de extrem.

c) Determinați funcția $\displaystyle G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=xf(x)$, cu proprietatea $\displaystyle G(1)=\frac{\pi}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=1$.

b) Pentru $\displaystyle m=2$, rezolvați sistemul de ecuații.

c) Pentru $\displaystyle m=3$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului de ecuații, astfel încât $\displaystyle x_0+y_0z_0=4$ și $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ sunt numere întregi.

a) Demonstrați că $\displaystyle x*y=2(x-3)(y-3)+3$, pentru orice $\displaystyle x,y \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle e=\frac{7}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „*”.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ astfel încât $\displaystyle \underbrace{x*x*\dots*x}_{de 2023 ori x}=3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{x-1}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este o funcție descrescătoare pe $\displaystyle (0,1]$ și o funcție crescătoare pe $\displaystyle [1, \infty)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x \ge 1+\ln x$ pentru orice $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

a) Verificați dacă funcția $\displaystyle g$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați primitiva funcției $\displaystyle g$ a cărei reprezentare grafică conține punctul $\displaystyle O(0,0)$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f$ este convexă pe intervalul $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.