a) Arătați că $\displaystyle \det(A)=5a+4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a,b$ pentru care tripletul $\displaystyle (1,0,-1)$ este soluție a sistemului;

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a,b$ astfel încât sistemul să fie compatibil nedeterminat.

a) Calculați $\displaystyle \sqrt{2} \circ 2$.

b) Determinați elementele simetrizabile ale lui $\displaystyle \mathbb{R}$ raport cu legea „$\displaystyle \circ$”.

c) Rezolvați, în mulțimea numerelor reale, ecuația $\displaystyle x \circ x \circ \dots \circ x = 1025$, unde $\displaystyle x$ apare de $\displaystyle 10$ ori.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2}{(x+1)^2}$, $\displaystyle \forall x \in (-1,\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(x+1) \ge \frac{x}{x+1}$, $\displaystyle \forall x \in (-1,\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle F_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F_1(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2+4)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f_1$.

b) Determinați o primitivă a funcției $\displaystyle f_1$ a cărei reprezentare grafică trece prin punctul $\displaystyle A\left(2, -\frac{\pi}{2}\right)$.

c) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f_n$ este bijectivă.

a) Determinați cel mai mic număr întreg $\displaystyle m$ pentru care suma elementelor matricei $\displaystyle A(m)$ este un număr natural nenul.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)-A(2)) = 0$.

c) Pentru $\displaystyle m=2$, determinați soluția $\displaystyle (x_0, y_0, z_0) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ a sistemului de ecuații, știind că $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ formează o progresie geometrică.

a) Arătați că $\displaystyle i \circ (-i+(y+i)-i)$, pentru orice numere complexe $\displaystyle x, y$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

c) Determinați perechea de numere reale $\displaystyle (a,b)$, știind că $\displaystyle i^2 \circ i^2 \circ \dots \circ i^{2024} = a+bi$.

a) Arătați că tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$ este paralelă cu dreapta de ecuație $\displaystyle y=x-1$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice la graficul funcției $\displaystyle f$ spre $\displaystyle +\infty$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Determinați mulțimea primitivelor funcției $\displaystyle g:(1,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(\sqrt{x-1})$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x\ln f(x)}{x^2+1}dx = -506\ln^2(x^2+1)+C, C \in \mathbb{R}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați punctele de inflexiune ale funcției $\displaystyle F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, primitivă a funcției $\displaystyle f$.