Exerciții

determinanțimatricisisteme de ecuații liniare

Se consideră matricele $\displaystyle M = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

5p

a) Arătați că $\displaystyle \det M = 4$ .

5p

b) Arătați că $\displaystyle M \cdot M + 3M + 4I_2 = O_2$ , unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ .

5p

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ astfel încât $\displaystyle M \cdot M \cdot M = aM + bI_2$ .

Subiectul al II-lea

ecuațiipolinoame

Se consideră polinomul $\displaystyle f = X^3 - 5X^2 + 5X - 1$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncțiiinecuații

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = 2x^3 - 6x + 1$ .

Subiectul al III-lea

integraleprimitive

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x^2 - 4$ .

Subiectul I

progresii aritmetice

Calculați rația progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ , ştiind că $\displaystyle a_1=1$ şi $\displaystyle a_2=2015$ .

Subiectul I

funcții

Determinați valoarea maximă a funcției $\displaystyle f: [1,4] \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x+1$ .

Subiectul I

ecuațiilogaritmi

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_3(x^2-8)=\log_3 9$ .

Subiectul I

combinatorică

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii $\displaystyle A=\{1,2,3,4\}$ .

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,3)$ , $\displaystyle B(6,3)$ şi $\displaystyle C(4,0)$ . Determinaţi coordonatele punctului $\displaystyle D$ , ştiind că $\displaystyle ABCD$ este paralelogram.

Subiectul I

geometrie sinteticătrigonometrie

Calculați lungimea laturii $\displaystyle BC$ a triunghiului $\displaystyle ABC$ în care $\displaystyle AB=1$ , $\displaystyle B=\frac{\pi}{3}$ și $\displaystyle C=\frac{\pi}{6}$ .

Subiectul al II-lea

determinanțiecuațiimatrici

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle O_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & a+1 \\ 0 & 1 & a+2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle a$ este număr real.

Subiectul al II-lea

ecuațiipolinoame

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3-4X^2+mX+2$ , unde $\displaystyle m$ este număr real.

Subiectul al III-lea

continuitatederivatefuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=e^x(x^2-6x+9)$ .

Subiectul al III-lea

combinatoricăintegraleșiruri

Pentru fiecare număr natural nenul $\displaystyle n$ , se consideră numărul $\displaystyle I_n = \int_0^1 x^n(1-x)^n dx$ .

Subiectul I

numere complexe

Se consideră numerele complexe $\displaystyle z_1=3+i$ și $\displaystyle z_2=3-i$ . Arătați că numărul $\displaystyle z_1z_2$ este real.

Subiectul I

ecuațiifuncții

Determinați numărul real $\displaystyle a$ , știind că punctul $\displaystyle A(1,1)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x+a$ .

Subiectul I

ecuații

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x^2+2x-4}=x$ .

Subiectul I

probabilități

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $\displaystyle A = \{1, 2, 3, ..., 80\}$ , acesta să fie divizibil cu $\displaystyle 7$ .

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle O(0,0)$ , $\displaystyle A(1,2)$ și $\displaystyle B(2,a)$ . Determinați numărul real $\displaystyle a$ , știind că punctele $\displaystyle O$ , $\displaystyle A$ și $\displaystyle B$ sunt coliniare.

Subiectul I