Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & a+2 & a+3 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3)) = 8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(1) = A(1) \cdot A(a)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x^2y - 3x^2 - 3y^2 + 12$.

a) Arătați că $\displaystyle \sqrt{3} \circ \sqrt{5} = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x^2-3)(y^2-3) + 3$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m, n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle m \circ n = 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \setminus \{2\} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{x^2+x}{x-2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-4x-2}{(x-2)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că graficul funcției $\displaystyle f$ admite $\displaystyle 2$ puncte de extrem $\displaystyle x_1, f(x_1)$ și $\displaystyle x_2, f(x_2)$ și calculați $\displaystyle f(x_1) + f(x_2)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac{x^2-2}{x-2}, & \text{dacă } x < 1 \\ 2 \ln x - 1, & \text{dacă } x \ge 1 \end{cases}$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{x^2-2}{x-2} \, dx, x \in (0,1)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F$ admite primitive.

c) Determinați o primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ pe intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 5$;

b) Să se demonstreze că matricea $\displaystyle A$ verifică relația: $\displaystyle A^2 - 2A + I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$;

c) Să se afle matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ știind că $\displaystyle A \cdot X = B$.

Pe mulțimea numerelor reale se consideră legea de compoziție: $\displaystyle x \circ y = xy - 3(x + y) + 12$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$.

a) Să se arate că $\displaystyle 2 \circ 0 = 6$;

b) Să se arate că legea "$\displaystyle \circ$" este comutativă;

c) Să se rezolve ecuația $\displaystyle x \circ x = 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \sqrt{x} - \ln x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\sqrt{x} - 2}{2x}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă $\displaystyle 1$.

c) Demonstrați că funcția este crescătoare pentru orice $\displaystyle x \in [4,\infty)$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 3, x \le 0 \\ e^x + 2x, x > 0 \end{cases}$.

a) Arătați că $\displaystyle f$ admite primitive .

b) Arătați că orice primitivă este concavă pe $\displaystyle (-\infty,0)$.

c) Calculați $\displaystyle \int x \cdot f(x)dx$, pentru $\displaystyle x \in [0,\infty)$.