a) Să se calculeze rang $\displaystyle A$.

b) Să se arate că $\displaystyle A^n=14^{n-1}A$, $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*$.

c) Să se arate că inversa matricei $\displaystyle I_3-A$ este $\displaystyle I_3 - \frac{1}{13}A$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = 5(x-6)(y-6)+6$, pentru orice $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$;

b) Determinați un element $\displaystyle a \in \mathbb{R}$ pentru care $\displaystyle x \circ a = x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$;

c) Dacă $\displaystyle d_1, d_2, ..., d_n$ sunt divizorii întregi ai numărului $\displaystyle 2022$ calculați $\displaystyle d_1 \circ d_2 \circ ... \circ d_n$.

a) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f'(x)=0$ are o singură soluție în intervalul $\displaystyle (1,\infty)$;

b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $\displaystyle f$;

c) Demonstrați că $\displaystyle f(\lg 99) + f(\lg 101) < f(\lg 97) + f(\lg 103)$.

a) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=-\frac{1}{4}\cos 2x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f_{1,1}$;

b) Calculați $\displaystyle \int_0^{\pi/2} f_{3,1}(x)dx$;

c) Fie $\displaystyle F$ o primitivă a funcției $\displaystyle f_{2022,2023}$. Demonstrați că există un număr real $\displaystyle k$ astfel încât $\displaystyle F(x+2\pi)-F(x)=k$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(A(m)) \neq 0$.

c) În reperul cartezian $\displaystyle (xOy)$ considerăm punctele necoliniare $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(m,m^2)$, $\displaystyle C(m+1, (m+1)^2)$, unde $\displaystyle m \in \mathbb{R}$. Determinați valorile lui $\displaystyle m$, știind că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 1$.

a) Demonstrați că $\displaystyle x * y = 2-5(x-2)(y-2)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Arătați că, dacă $\displaystyle a * a = b * b$, unde $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ cu $\displaystyle a \neq b$, atunci $\displaystyle a+b=\frac{9}{5}$.

c) Determinați numerele reale nenule $\displaystyle m$, știind că funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=mx^2+2$ verifică relația $\displaystyle f(x*y)=f(x)f(y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

a) Studiați existența asimptotelor verticale la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul $\displaystyle P(x_0, f(x_0))$, care este paralelă cu dreapta $\displaystyle d$, de ecuație $\displaystyle x-4y+2023=0$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(1+\sqrt{1+n^2}) \leq \sqrt{1+n^2}$, oricare ar fi $\displaystyle n \in \mathbb{N}^*$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \ln(1+\sqrt{2})$.

b) Determinați $\displaystyle a \in (0, \frac{\pi}{2})$ pentru care $\displaystyle \int_0^a \operatorname{tg} x dx = \frac{\pi+2\sqrt{2}}{4}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}\int_0^x f(t)dt = 0$.