a) Determinați $\displaystyle \det(A(10))$.

b) Determinați valorile reale ale lui $\displaystyle x$, ştiind că $\displaystyle A(x) \cdot A(2x) = A(x^2 + 2)$.

c) Știind că $\displaystyle A(n) = A(1) \cdot A(2) \cdot \ldots \cdot A(2022)$, demonstrați că $\displaystyle n$ este număr natural divizibil cu $\displaystyle 2023$.

a) Arătați că $\displaystyle x \ast y = 3(x - 1)(y - 1) + 1$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Calculați $\displaystyle \frac{1}{2} \ast \frac{2}{3} \ast \frac{3}{4} \ast \ldots \ast \frac{2023}{2024}$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ care sunt egale cu simetricul lor față de legea $\displaystyle \ast$.

a) Determinați ecuațiile asimptotelor la graficul funcției $\displaystyle f$.

b) Determinați punctele de extrem local ale funcției $\displaystyle f$.

c) Se consideră șirul $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_{n+1} = f(a_n)$, pentru $\displaystyle n \ge 1$, $\displaystyle n \in \mathbb{N}$. Studiați convergența șirului $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ și în caz de convergență, calculați limita șirului.

a) Arătați că funcția $\displaystyle F$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

b) Determinați primitiva $\displaystyle G_1$ a funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = x F(x)$ cu proprietatea că graficul lui $\displaystyle G_1$ conține punctul $\displaystyle A(1, -\frac{\pi}{4})$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{G(x)}{x^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $\displaystyle m$ pentru care matricea $\displaystyle A(m)$ este inversabilă.

c) În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele necoliniare $\displaystyle A(1,1)$, $\displaystyle B(m, m^2)$ și $\displaystyle C(m+1, (m+1)^2)$, unde $\displaystyle m$ este un număr real. Determinați numerele reale $\displaystyle m$, știind că triunghiul $\displaystyle ABC$ are aria egală cu 1.

a) Arătați că $\displaystyle (2+i) \ast (2-i) = 9$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$, numărul $\displaystyle A = (-1+a i) \ast (-1-a i)$ este real strict mai mic decât 0.

c) Determinați numerele complexe $\displaystyle z$ pentru care $\displaystyle z \ast z = -5$.

a) Calculați $\displaystyle f'(x), x \in (-1, +\infty)$.

b) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x-f(x)-\ln 2}{x-1}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln(x+1) \le x$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1, +\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)+x^2f(x)}{x^4+1}dx = \frac{\pi}{8}$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} \int_1^x f(t)dt$.