a) Calculați $\displaystyle \det(A(2))$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(-x) = I_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)+A(2)+...+A(n)) = \frac{n^2(n-1)(n+3)}{4}$, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle n$.

a) Determinați $\displaystyle m \in \mathbb{R}$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu $\displaystyle X-1$.

b) Pentru $\displaystyle m=4$ arătați că $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_1^2+x_2^2+x_3^2=-62$, unde $\displaystyle x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 27^x+9^x-17 \cdot 3^x+15=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}-1$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că axa $\displaystyle Ox$ este asimptotă orizontală spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că imaginea funcției $\displaystyle f$ este intervalul $\displaystyle (0, +\infty)$.

a) Calculați $\displaystyle \int_0^1 \left(f(x)-\frac{1}{x+1}\right)dx$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 xf(x)dx = \frac{4}{3}-\ln 2$.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle \frac{1}{2}+\ln(n^2+n)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 1$.

b) Arătați că $\displaystyle A \cdot A + I_2 = O_2$, unde $\displaystyle O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \det(A - aI_2) \ge 1$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

a) Calculați $\displaystyle f(1)$.

b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle f$ la $\displaystyle X - 2$.

c) Calculați $\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 1 + \ln x$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este crescătoare pe $\displaystyle \left[\frac{1}{e}, \infty\right)$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \ge -\frac{1}{e}$, oricare ar fi $\displaystyle x \in (0, \infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 xf(x) dx = \frac{32}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^e f(x) - \frac{1}{x} dx = e^2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a > 1$, pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x = 1$ și $\displaystyle x = a$, este egală cu $\displaystyle 4 + \ln a$.