Determinați rația progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$, știind că $\displaystyle a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 14$ și $\displaystyle a_2 + a_4 = 2$.

Arătați că $\displaystyle f(-1) = -4$ pentru orice număr real $\displaystyle m$, unde $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+m$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 7^{x^2-3}=7^x$.

Prețul unui obiect este $\displaystyle 1000$ de lei. Determinați prețul obiectului după ce se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte $\displaystyle 10\%$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,0)$, $\displaystyle B(8,3)$ și $\displaystyle C(0,3)$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

Se consideră unghiul $\displaystyle ABCD$ cu $\displaystyle AB=5$ și $\displaystyle BD=6$. Calculați $\displaystyle \sin(\angle ADB)$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=x+y+5$.

1. Arătați că $\displaystyle (-1)*1=5$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=x+y+5$. 2. Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este asociativă.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=x+y+5$. 3. Arătați că $\displaystyle e=-5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$” .

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=x+y+5$. 4. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle x*x=7$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=x+y+5$. 5. Demonstrați că $\displaystyle (x^2-y-5)*(x-y^2-5)=(x-y)(x+y+1)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y=x+y+5$. 6. Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle m*n=6$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 2. Demonstrați că inversa matricei $\displaystyle A$ este matricea $\displaystyle \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 3. Arătați că $\displaystyle A \cdot A - 3A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A-xI_2)=2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 5. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle A \cdot A - aA = 6I_2$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 6. Determinați numerele reale $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ pentru care $\displaystyle A \cdot X = X \cdot A$, unde $\displaystyle X = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ p & q \end{pmatrix}$.

1. Calculați $\displaystyle a_{2023}$, știind că $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ este progresie aritmetică cu $\displaystyle a_1=2023$ și $\displaystyle r=-1$.

2. Arătați că $\displaystyle x_1+x_2+2x_1x_2=23$, știind că $\displaystyle x_1$ și $\displaystyle x_2$ sunt soluțiile ecuației $\displaystyle x^2-3x+10=0$.