a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = -21$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \text{rang}(A(x)) = 3$.

c) Rezolvați ecuația $\displaystyle \det(A(\lg x)) = 0$, $\displaystyle x > 0$.

a) Arătați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3) + 3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$, pentru care $\displaystyle a * a * a = a$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^x * 9^x * 27^x = 3$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = 2+\ln x$, $\displaystyle x \in [1, \infty)$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

c) Calculați următoarea limită $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f^{-1}(x) \cdot \ln x}{x}$.

a) Calculați $\displaystyle I_1$.

b) Arătați că orice primitivă a funcției $\displaystyle f_2$ este convexă pe $\displaystyle [0, \frac{\pi}{8}]$.

c) Să se determine primitiva funcției $\displaystyle f_{2023}$ care trece prin punctul $\displaystyle A(0,0)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, oricare ar fi $\displaystyle x,y \in \mathbb{R}$.

b) Arătaţi că $\displaystyle (A(x)-A(y))^{2023} = O_3$, pentru orice $\displaystyle x,y \in \mathbb{R}$.

c) Determinaţi inversa matricei $\displaystyle A(x)$, unde $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Determinaţi restul împărţirii polinomului $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle g = X-2$.

b) Arătaţi că polinomul $\displaystyle f$ nu are rădăcini raţionale.

c) Arătaţi că $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3 + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_4} = -8$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{1-2x}{e^x}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle (2x+1)\sqrt{e} \le 2e^x$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Calculaţi $\displaystyle I_2$.

b) Demonstraţi că şirul $\displaystyle (I_n)_{n \ge 1}$ este convergent.

c) Demonstraţi că $\displaystyle (2n+1)I_n = 2nI_{n-1}$, pentru orice $\displaystyle n \ge 2$.