a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A((x-3)(y-3)+3)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle abc$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(b) \cdot A(c) = A(8)$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * (-1) = 2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x \le 5$.

c) Calculați $\displaystyle \sqrt[3]{1} * \sqrt[3]{2} * \dots * \sqrt[3]{2023}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(0) = 0$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (1-x)e^x \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^{x^2}} dx = e$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este convexă.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a > 1$, pentru care $\displaystyle \int_1^a \frac{e^{x^2} - f(x)}{x^2} dx = \frac{3}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(a)) = 9$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Arătați că $\displaystyle A(-a) \cdot A(a) = 9I_2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

c) Determinați perechile de numere naturale nenule $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(n) = 3A(3)$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * (-3) = 18$.

b) Arătați că $\displaystyle x * y = (x - 4)(y - 4) + 4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^x * 4^x = 4$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x^2e^x$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x = 1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Aflați ecuația asimptotei orizontale către $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Determinați $\displaystyle \int f(x)e^x dx$.

b) Arătați că funcția $\displaystyle G : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle G(x) = e^x (-x^2 + x + 1)$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$ este descrescătoare pe intervalul $\displaystyle [0, 3]$.