5. Arătați că numărul $\displaystyle N = \det(A(n) + nI_2)$ este natural par, pentru orice număr natural $\displaystyle n$.

6. Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(5) \cdot X = A(0) + 3X$.

1. Determinați termenul $\displaystyle a_4$ al progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$, în care $\displaystyle a_1=2$ și $\displaystyle a_2=14$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=ax+3$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (f \circ f)(0) + f(0) = 0$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 5^{x^2-4x} = 5^{x-10}$.

4. Determinați câte numere naturale impare, de trei cifre distincte, se pot forma cu cifre din mulțimea $\displaystyle A = \{1, 2, 3, 9\}$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,0)$ și $\displaystyle B(5,4)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle 2x+ay=0$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ aparține dreptei $\displaystyle d$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle BC=12$ și $\displaystyle C=\frac{\pi}{6}$. Punctul $\displaystyle M$ aparține segmentului $\displaystyle AC$ astfel încât $\displaystyle AM = AC$. Arătați că $\displaystyle BM = 4\sqrt{3}$.

5p 1. Arătați că $\displaystyle 3^5 : 3^3 - \frac{1}{10} \cdot 40 = 1$.

5p 2. Se consideră funcția $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x + 6$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(1) + f(a) = 2f(0)$.

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{4x-x^2} = x$.

5p 4. Se consideră mulțimea $\displaystyle A = \{0, 1, 2, \dots, 26\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $\displaystyle A$, acesta să fie pătratul unui număr natural.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,4)$, $\displaystyle B(3,0)$ și $\displaystyle C(4,7)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este dreptunghic isoscel.

5p 6. Arătați că $\displaystyle 2\sin 60^\circ + \sin 30^\circ - 3\cos 30^\circ = 0$.