a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - x - 2)dx = 16$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 (f(x) - x - 2)dx = 4$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-2}^a f'(x) \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right) dx = \ln(2e^6)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0)) = i$.

b) Demonstrați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Calculați $\displaystyle A(0) \cdot A(0) \cdot A(0) \cdot ... \cdot A(0)$, de 2022 ori.

a) Arătați că $\displaystyle x \circ y = (x-6)(y-6)+6$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

b) Determinați perechile de numere întregi $\displaystyle (x, x')$ unde $\displaystyle x'$ este simetricul lui $\displaystyle x$ în raport cu legea „$\displaystyle \circ$” .

c) Calculați $\displaystyle \frac{2022}{1} \circ \frac{2022}{2} \circ \frac{2022}{3} \circ ... \circ \frac{2022}{2022}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \operatorname{arctg} x - \frac{x}{x^2+1}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă pe $\displaystyle \mathbb{R}$.

c) Fie funcția $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f'(x)$. Determinați imaginea funcției $\displaystyle g$.

a) Calculați $\displaystyle \int \frac{f^2(x)}{x^2} dx$, $\displaystyle x \in (-\infty, 0)$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a, b, c$ astfel încât funcția $\displaystyle F: (-\infty, 0) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x) = (ax^2+bx+c)\sqrt{1-x}$ să fie o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Fie $\displaystyle G: (-\infty, 0) \to \mathbb{R}$ o primitivă a funcției $\displaystyle f$. Calculați $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{G(x)}{x\sqrt{(-x)^5}}$.

a) Arătați că $\displaystyle A(1, 1)^2 = 6A(1, 1)$.

b) Demonstrați că $\displaystyle \det(A(x, y)) = (x-1)(y-1)(y-x)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Aflați perechile de numere naturale $\displaystyle (m, n)$ pentru care ecuația matriceală $\displaystyle A(2^m, 3^n) X = 2I_3$ are soluție unică.

a) Demonstrați că elementul neutru al legii de compoziție este $\displaystyle 2-i$.

b) Determinați simetricul elementului $\displaystyle z = 4+i$.

c) Demonstrați că mulțimea $\displaystyle H = \{z \in \mathbb{C} \mid \left| z-i \right| = 1\}$ este parte stabilă a mulțimii numerelor complexe în raport cu legea de compoziție dată.