Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații liniare $\displaystyle \begin{cases} ax+y+z=2a \\ x+ay-z=4-a \\ 3x+2y+z=8 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=4$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ soluția sistemului de ecuații liniare pentru $\displaystyle a=1$. Pentru $\displaystyle a=2$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului de ecuații liniare pentru care $\displaystyle x_0y_0z_0=y_1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \sqrt[3]{(x^2+2)(y^2+2)}-m$, unde $\displaystyle m \in \mathbb{R} \setminus \{-4, \infty\}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \frac{e^{x^2-x}}{\sqrt{x-1}}$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = \left(4x^2-\frac{6}{x^2}\right)\ln x$.