a) Arătați că $\displaystyle \det(A(4))=5$.

b) Arătați că $\displaystyle 2A(1)+A(4)=3A(2)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(-x)\cdot A(x)=A(y)$.

a) Arătați că $\displaystyle 0*3=6$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2*x=2$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi pentru care $\displaystyle (2m)*(2n+1)=10$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=12x(x+1)(x-2)$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 3x^4+5\geq 4x^3+12x^2$, pentru orice $\displaystyle x\in(-\infty,0]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^4\left(f(x)-xe^x\right)dx=12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1\left(f(x)-x-1\right)dx=1$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:[0,1]\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{\sqrt{f'(x)}}{f(x)}$. Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle \frac{\pi(e+1)}{e+2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(a)=(2a-1)A(a)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle B(n)=A(n)+nI_3$, unde $\displaystyle n$ este număr natural. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(n) \cdot B(n)=2n^2 A(n)$.

a) Pentru $\displaystyle a=4$ și $\displaystyle b=0$, arătați că $\displaystyle P(-1)=0$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ știind că restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle X^2-X+1$ este $\displaystyle X-1$.

c) Enunțul lipsește din imaginea subiectului.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{4x}{(2x^2+1)\sqrt{2x^2+1}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=m$ are două soluții, pentru orice $\displaystyle m \in (2,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left(f(x)-\frac{1}{x+2}\right)dx=15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 4\text{ln}x \cdot \frac{f(x)-4x^3}{x}dx=e^2+9$.

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:(-2,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(e^x-1)e^{-4e^{3x}}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle \frac{1}{2}\text{ln}\frac{3e}{e^2+2}$.