În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,4)$ şi $\displaystyle B(5,2)$. Determinaţi distanţa dintre punctele $\displaystyle A$ şi $\displaystyle B$, unde $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle OA$.

Arătaţi că $\displaystyle 3\sin^2 30^\circ + 2\cos 60^\circ - \sin 60^\circ = 1$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = \frac{xy}{4} + x + y - 4$. Arătați că $\displaystyle 1*4=4$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*5=6$.

Arătați că $\displaystyle x*y = \frac{1}{4}(x-4)(y-4)+4$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că, dacă $\displaystyle x*y = (x-1)*(y-1) + x + y - 8$, atunci $\displaystyle x*y = 4$ pentru orice $\displaystyle x,y \in [4, \infty)$.

Arătați că, dacă $\displaystyle x*y \in [4, \infty)$, atunci $\displaystyle x*y \in [4, \infty)$.

Determinaţi perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle 4^m*(n+1) = (2^m-1)*n$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 9 & 6 \\ -4 & -1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x+2 & 3 \\ x-2 & 1 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(B(4))=6$.

Determinaţi $\displaystyle 2B(3)+B(6)$.

Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(-2) \cdot B(5) = aB(0)$.

Determinaţi numărul real Intreg $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(2B(m)-A) = 0$.

Determinaţi perechile $\displaystyle (n,p)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle B(n) \cdot B(-n) = 2pI_2$, unde $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Determinaţi matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle B(4) \cdot X = 2A$.

Calculați $\displaystyle 3 · (2,9 - 1,7) + 0,4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: ℝ \to ℝ$, $\displaystyle f(x)=2x-1$. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle f(0) + f(m) = 0$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x+6} = 6$.

Prețul unui obiect este de $\displaystyle 500$ de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu $\displaystyle 30\%$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle M(0,4)$, $\displaystyle N(2,8)$ și $\displaystyle P(4,0)$. Determinați distanța dintre mijlocul segmentului $\displaystyle MP$ și punctul $\displaystyle N$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle BC=10$ și $\displaystyle 2BC=5AB$. Arătați că $\displaystyle AC=2\sqrt{21}$.