1. Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 4-x & x \\ -x & 1-x \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=2$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle 3A(2)-A(4)=2A(a)$.

3. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x))=x$.

4. Arătați că matricea $\displaystyle B=1/2(I_2-A(2))$ este inversa matricei $\displaystyle A(2)$.

5. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x^2)$.

6. Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(3)$.

1. Arătați că $\displaystyle (4,9-3,4):3+2,5=3.$

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2x-21.$ Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctul $\displaystyle A(a,-3a)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f.$

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_7(1+2x-x^2)=\log_7(3-x).$

4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar de $\displaystyle 11.$

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,5), B(2,0)$ și $\displaystyle C(4,2)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel, unde punctul $\displaystyle D$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC.$

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle \mathrm{tg}\,B=\frac{3}{5}$ și aria egală cu $\displaystyle 24$. Arătați că $\displaystyle AC=4.$

Determinați termenul $\displaystyle a_3$ al progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}$ în care $\displaystyle a_1=10$ și $\displaystyle a_2=18$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-2$. Arătați că $\displaystyle f(4)-f(3)-f(2)=0$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 7^{3-x}=7^{4x-2}$.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $\displaystyle 20-2n<15$.