1. Arătaţi că $\displaystyle \sqrt{64-4\sqrt{2}}+2\sqrt{2}=(2-\sqrt{2})^2+4$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=7x-4$. Determinaţi numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a)=5a$.

3. Rezolvaţi în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 9^{3x}=3^3$.

4. După o ieftinire cu 15%, prețul unui obiect s-a micșorat cu 75 de lei. Determinaţi prețul obiectului înainte de ieftinire.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,4)$, $\displaystyle B(2,0)$ și $\displaystyle C(6,6)$. Arătați că $\displaystyle MA=MB$, unde punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle OC$.

6. Arătați că $\displaystyle 4(\sin 60^\circ)^2 - (\sin 45^\circ)^2 - 2(\sin 30^\circ)^2 = 2$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \ast y = \frac{x+y-4}{3}$.

1. Arătaţi că $\displaystyle 7 \ast 8 = 1$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 4 \ast x = x$.

3. Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast x^2 = 0$.

4. Arătați că $\displaystyle (2x) \ast (2y) = 2 \cdot (x \ast y)+6$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

5. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (3n) \ast ((2n) \ast n) \le -n$.

6. Determinați $\displaystyle x \in (0,\infty)$ pentru care $\displaystyle \lg x \ast \lg x = (-\frac{3}{3})\lg \frac{1}{x}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det A = -2$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A+2I_2=aB$.

3. Arătaţi că $\displaystyle A \cdot A + A = 2I_2$.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ pentru care $\displaystyle M(x,y) \cdot A = B$.

5. Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale distincte astfel încât $\displaystyle \det(M(x,y))=\det((M(y,x))$, atunci $\displaystyle x+y=0$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle M(x,x) \cdot M(x,-x) = M(-2,2)$.

1. Se consideră numerele complexe $\displaystyle z_1 = 4 - 3i$ și $\displaystyle z_2 = 1 - 2i$. Arătați că $\displaystyle z_1 + 3z_2 = 10$.

2. Se consideră funcțiile $\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = 3x$ și $\displaystyle g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = 2x + 1$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (f \circ g)(a) = 3g(3)$.