a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=2$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(1) \cdot A(1)+2I_2=xA(1)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X \cdot A(2) = A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle 0*2=2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * x = (2x)*6$.

c) Știind că $\displaystyle e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție $\displaystyle „*”$, determinați numărul real $\displaystyle x$ al cărui simetric în raport cu legea de compoziție $\displaystyle „*”$ este $\displaystyle 4$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2x-1)(2x+1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{f(x)+\ln x - 4}{x^2-3x-3} = \frac{4}{3}$.

c) Arătați că $\displaystyle \frac{4x^2-1}{x} \ge \ln(2x)$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-2x) dx = e+1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{f(x)-e^x} dx = \ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{e^x} dx = 5+\frac{a}{e}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=2$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Pentru $\displaystyle a=2$, arătați că $\displaystyle x_0y_0+y_0z_0=0$, pentru orice soluție $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ a sistemului de ecuații, cu $\displaystyle x_0,y_0,z_0$ numere reale.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \ast 5 = \frac{7}{4}$.

b) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast x = 3$.

c) Demonstrați că $\displaystyle (x \ast 2) \ast x = 2$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{(2-x)\ln x}{x}$, $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-(x^2-2x))dx = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^{\sqrt{5}} \frac{x}{f(x)-x^2+2x}dx=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \int_0^x F(t)dt = \frac{1}{2}$, unde $\displaystyle F:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$ pentru care $\displaystyle F(0)=0$.