a) Arătați că $\displaystyle \det(A(6)) = 10$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(3) \cdot A(3) = aI_2$.

c) Demonstrați că numărul $\displaystyle N = \det(A(m) \cdot A(2) - A(m-1))$ este natural, pentru orice număr întreg $\displaystyle m$.

a) Arătați că $\displaystyle f(0) = 2$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3) = 4$, unde $\displaystyle x_1, x_2$ și $\displaystyle x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Știind că polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X + 1$, determinați restul împărțirii lui $\displaystyle f$ la polinomul $\displaystyle X^2 - 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = e^{x^2}(x^2 + 3x)$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} + f(x)}{x^2 - 4x} = \frac{1}{3}$.

c) Demonstrați că $\displaystyle e^{x^2}(x^2 + x - 1) \le 5$, pentru orice $\displaystyle x \in (-\infty, 0]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{\sqrt{2}-1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{x}{f(x)} dx = \frac{\ln 3}{4}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $\displaystyle g:[0,2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=f(x)$ în jurul axei $\displaystyle Ox$ este egal cu $\displaystyle \frac{a \pi}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(M(0))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle M(3)+2M(0)=3M(1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle M(a)\cdot M(0)=M(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1\circ 2=14$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ 3=x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle 2^x\circ 4=2^{x+4}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{2(x+2)}{(x^2+4x+5)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x\to\infty}(x^2-1)f(x)=1$.

c) Demonstrați că $\displaystyle 5f(x)+f'(x)\le 2$, pentru orice $\displaystyle x\in[0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(f(x)-2x)dx=\frac{8}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2\frac{1}{f(x)-5x^2}dx=\frac{\ln 5}{2}$.

c) Determinați primitiva $\displaystyle G:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-2x}{\sqrt{5x^2+1}}$, pentru care $\displaystyle G(1)=5$.