Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 4$.

Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi, cu $\displaystyle m<n$, pentru care $\displaystyle m \circ n = \frac{1}{6}$.

Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (0 \circ x) \circ (x+1) = 1$.

Determinați tripletele $\displaystyle (a,b,c)$ de numere reale, știind că numerele $\displaystyle a,b$ și $\displaystyle c$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cu rația $\displaystyle 6$ și $\displaystyle b \circ c = -5$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2x & 3x+1 \\ 1-x & 1 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(B(1))=2$.

Arătați că $\displaystyle B(1) \cdot B(2)-B(2)=11A$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(B(-1)+aA)=0$.

Arătați că $\displaystyle B(-x)+2B(x) = 3B(\frac{x}{3})$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(x) \cdot A + I_2 = A \cdot B(x) + I_2$.

Determinați, pentru orice numere întregi $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, numărul $\displaystyle N=\det(B(2m)-B(2n+1))$ este natural, multiplu impar de $\displaystyle 3$.

1. Calculați $\displaystyle 2(6-i)+3(1-4i)-5$, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x+5$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (f \circ f)(a)=2a$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x^2+4x-4}=x\sqrt{2}$.

4. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul $\displaystyle 2^n$ să fie divizibil cu 16.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,1)$ și $\displaystyle B(2,4)$. Arătați că triunghiul $\displaystyle OAB$ este dreptunghic în $\displaystyle A$.

6. Se consideră expresia $\displaystyle E(x)=\sin x + 2\cos 2x + 2\sin^2 \frac{x}{2}$ unde $\displaystyle x$ este număr real. Arătați că $\displaystyle E\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$.