Determinați termenul $\displaystyle b_3$ al progresiei geometrice $\displaystyle (b_n)_{n \ge 1}$, în care $\displaystyle b_1=40$ și $\displaystyle b_2=80$.

Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle m$ pentru care graficul funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-2x+m$ intersectează axa $\displaystyle Ox$ în două puncte distincte.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2-2x} = \frac{1}{3}$.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, $\displaystyle n^2$ să fie număr natural de trei cifre.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(7,4)$ și $\displaystyle C$, astfel încât $\displaystyle \vec{AB} = 2\vec{AC}$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle D$ pentru care $\displaystyle \vec{OD} = \vec{CB}$.

Se consideră triunghiul ascuțitunghic $\displaystyle ABC$, cu $\displaystyle AB=10$, înălțimea $\displaystyle AD=8$ și distanța de la punctul $\displaystyle D$ la dreapta $\displaystyle AC$ egală cu $\displaystyle 4\sqrt{2}$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 56$.

Calculați $\displaystyle \sqrt{2}(2\sqrt{5}+\sqrt{10})-2-\sqrt{50}$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-1$ și $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=x+7$. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f$ și $\displaystyle g$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2}=9^{x}$.

În cadrul unei campanii promoționale toate produsele se vând cu $\displaystyle 70\%$ din prețul afișat la raft, iar produsele electronice sunt ieftinite cu încă $\displaystyle 10\%$ din noul preț. Determinați prețul de vânzare în cadrul campaniei al unui produs electronic cu prețul afișat la raft de $\displaystyle 900$ de lei.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,5)$, $\displaystyle B(5,3)$ și $\displaystyle C(8,4)$. Determinați lungimea segmentului $\displaystyle AB$. Arătați că triunghiul $\displaystyle ODC$ este isoscel.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=4$ și $\displaystyle \sin B = \frac{1}{2}$. Arătați că $\displaystyle AC=\sqrt{2}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y=x+y-\frac{xy}{6}+1$. Calculați $\displaystyle 2 \circ 3$.

Arătați că $\displaystyle x \circ y = 7-\frac{1}{6}(x-6)(y-6)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.