Arătați că $\displaystyle x^2 \to (4x+5) \ge 1$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Determinați perechile $\displaystyle (m, n)$, cu $\displaystyle m, n$ numere naturale, cu $\displaystyle m < n$, pentru care $\displaystyle m \circ n = 0$.

Se consideră matricea $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle \det(A(2)) = -1$.

Arătați că $\displaystyle A(2) + A(0) = 2 A(1)$.

Arătați că $\displaystyle A(0) = I_2$.

Demonstrați că matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} a & -1 \\ a+1 & a \end{pmatrix}$ este inversabilă, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a) + aI_2) = 11$.

Se consideră matricea $\displaystyle C(a,b) = a A(b) + b A(a)$, unde $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt numere reale. Determinați perimetrul triunghiului cu vârfurile $\displaystyle C(a,b)$, $\displaystyle C(b,a)$ cu elementele $\displaystyle C(a,b)$ egală cu 24.

5p 1. Determinați termenul $\displaystyle a_1$ al progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$, ştiind că $\displaystyle a_1=19$ şi $\displaystyle a_4=25$.

5p 2. Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x+a$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, ştiind că $\displaystyle f(2)=8$.

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 5^{2x-1} - 625^{x} = 0$.

5p 4. Determinați câte submulțimi cu două elemente are mulțimea $\displaystyle A=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,2)$, $\displaystyle B(2,0)$ și $\displaystyle C(8,2)$. Determinați lungimea segmentului $\displaystyle DE$, unde punctele $\displaystyle D$ şi $\displaystyle E$ sunt mijloacele segmentelor $\displaystyle OA$, respectiv $\displaystyle BC$.

5p 6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=6$ şi $\displaystyle B=\frac{\pi}{6}$. Arătați că raza cercului circumscris triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 2\sqrt{3}$.

Arătați că $\displaystyle (3+3\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}-3\sqrt{2}+4=10$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x+6$. Arătați că $\displaystyle f(0)+f(2)=f(4)$.