a) Arătați că $\displaystyle \det(A(3))=1$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2)+A(6)=2A(4)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x)\cdot A(x)=A(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1\circ(-3)=4$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x\circ 2=3x$.

c) Arătați că $\displaystyle (x^2+2)\circ(1-6x)\ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=-\frac{3}{(x-1)^2}$, $\displaystyle x\in(1,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(f(x)-3)dx=1$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 e^x(f(x)-2x)dx=3e-1$.

c) Determinați $\displaystyle a\in(0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x(x+3)}dx=\ln\frac{a}{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=8$.

b) Arătați că $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = 2A(x+y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (A(x)+A(3x)) \cdot A(2x)=4A(x^2)$.

a) Arătați că $\displaystyle f(1)=-3$, pentru orice număr real nenul $\displaystyle a$.

b) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle g=X^2+3X-1$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle (x_1+1)(x_2+1)(x_3+1)=1$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x+1)}{x(x+2)}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este bijectivă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x)(x+1)^3 dx = \frac{1}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{f(x)}{x^3+1} dx = 1-\ln 2$.

c) Arătați că aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g:\u211D \to \u211D$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(e^x)}{e^x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle \frac{e^2-1}{2(e+1)^2}$.