Exerciții

numere complexe

Se consideră numerele complexe $\displaystyle z_1 = 4+i$ și $\displaystyle z_2 = 2-4i$ . Arătați că $\displaystyle i \cdot z_1 + z_2 = 1$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x^2-3x+5$ . Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care punctul $\displaystyle A(a,5)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$ .

Subiectul I

ecuațiilogaritmi

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(7x-5) = \log_2(x+1) + \frac{1}{\log_6 2}$ .

Subiectul I

probabilități

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu impar al lui 9.

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,0)$ , $\displaystyle B(2,4)$ și $\displaystyle C(5,a)$ , unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ , știind că dreptele $\displaystyle OB$ și $\displaystyle AC$ sunt paralele.

Subiectul I

geometrie sinteticătrigonometrie

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ cu $\displaystyle AB=6$ , $\displaystyle BC=10$ și $\displaystyle \cos B = \frac{4}{5}$ . Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 18$ .

Subiectul al II-lea

determinanțimatrici

Se consideră matricele $\displaystyle I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ este număr real.

Subiectul al II-lea

ecuațiilegi de compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x * y = x^2y^2 + x^2 + y^2$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncțiilimite de funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0, \infty) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = \frac{\ln x}{x^3}$ .

Subiectul al III-lea

funcțiiintegrale

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = e^x + x^3-1$ .

Subiectul I

progresii aritmetice

Se consideră progresia aritmetică $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ cu $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_3 = 6$ . Calculați $\displaystyle a_1$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x^2 + x + 4$ . Arătați că $\displaystyle f(0) = 1$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 7^{x^2 - 3x + 2} - 49 \cdot 7^{x} = 0$ .

Subiectul I

distanțegeometrie analitică

După ce parcurge $\displaystyle 75 \%$ din lungimea unui traseu montan, un alpinist constată că mai are de parcurs $\displaystyle 2 \text{ km}$ până la finalul traseului. Calculați lungimea întregului traseu montan.

Subiectul I