Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = 2xy - 5(x+y)+15$. 1. Arătați că $\displaystyle 2 \circ 2 = 3$.

2. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ 3 = 1$.

3. Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

4. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ 4 \le 1$.

5. Arătați că $\displaystyle x \circ y = 2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(y-\frac{5}{2}\right)+\frac{5}{2}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

6. Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = x$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a-1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. 1. Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=2$.

2. Arătați că $\displaystyle 2A(3)-A(5)=I_2$.

3. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a+1))=2a^2$.

4. Arătați că $\displaystyle A(a) \cdot A(b) = A(ab)$, pentru orice numere reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$.

5. Determinați inversa matricei $\displaystyle B=A(2) \cdot A(3)$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle \det(bA(a))=4$.

1. Arătați că $\displaystyle 6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)^2=1$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-3$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a)+f(1)=0$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 10^{x^2-1}=10^{2x}$.

4. Câte dintre numerele naturale de două cifre distincte, care se pot forma cu cifre din mulțimea $\displaystyle {1,2,3,4,5,6}$, au ambele cifre pare.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(4,6)$ și $\displaystyle B(6,0)$. Determinați distanța dintre punctele $\displaystyle B$ și $\displaystyle M$, unde punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle OA$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AC=6$ și aria egală cu $\displaystyle 24$. Arătați că $\displaystyle AB=8$.