a) Arătați că $\displaystyle \int_1^4 (f(x)-\frac{1}{\sqrt{x+3}})dx = \frac{18}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^6 f(x) - (3x) dx = 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-2}^a (f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+3}})dx = 9(a-2\ln 2)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Arătați că $\displaystyle A(3)+A(5)=2A(4)$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \det(A(n)+I_2)\geq 0$.

a) Arătați că $\displaystyle f(0)=-1$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Arătați că $\displaystyle x_1+x_2+x_3=3$, $\displaystyle x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=m$ și $\displaystyle x_1x_2x_3=1$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X-1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x f(x)=1$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) dx = \frac{4}{e^3}$.

b) Demonstrați că funcția $\displaystyle F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle F(x)=(x^2-2x+3)e^x$ este o primitivă a funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle f$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=2$ are aria egală cu $\displaystyle 3(e^2-1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))= -1$.

b) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)\cdot A(-x)-I_3) \le 0$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Se consideră matricea $\displaystyle B \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$, $\displaystyle B= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X\cdot (A(0))^{-1} = B\cdot A(0)$, unde $\displaystyle (A(0))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A(0)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1*2=2$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m*n=5$.