Exerciții

determinanțiecuațiimatrici

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ şi $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} x-1 & 2 \\ 1 & x \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ este număr real.

5p

a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(2))=0$ .

5p

b) Arătaţi că $\displaystyle A(3)+2I_2=A(5)$ .

5p

c) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)+xI_2)=0$ .

Subiectul al II-lea

inecuațiilegi de compoziție

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $\displaystyle x\ast y=2x+2y-1$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncțiiinecuațiitangenta la grafic

Se consideră funcţia $\displaystyle f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x-2\ln x$ .

Subiectul al III-lea

ecuațiiintegraleprimitive

Se consideră funcţia $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ .

Subiectul I

progresii aritmeticeșiruri

Determinați termenul $\displaystyle a_3$ al progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ , în care $\displaystyle a_1 = 2$ și $\displaystyle a_2 = 12$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x-8$ . Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle f(1+m)=1-m$ .

Subiectul I

ecuații

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2(x^2-3x+5)=\log_2 5$ .

Subiectul I

probabilități

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea numerelor naturale de două cifre, numărul $\displaystyle \sqrt{n+1}$ să fie natural.

Subiectul I

geometrie analitică

În sistemul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$ , $\displaystyle B(3,0)$ și $\displaystyle C(5,a)$ , unde $\displaystyle a$ este un număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ , știind că dreptele $\displaystyle OA$ și $\displaystyle BC$ sunt paralele.

Subiectul I

geometrie sinteticătrigonometrie

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ , dreptunghic în $\displaystyle A$ , cu $\displaystyle AC=9$ și $\displaystyle B=\frac{\pi}{3}$ . Arătați că $\displaystyle AB=3\sqrt{3}$ .

Subiectul al II-lea

determinanțimatrici

Se consideră matricea $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix} 1 & x & x \\ 0 & x-1 & x-1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ este număr real.

Subiectul al II-lea

legi de compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y = xy + \frac{2x+2y-1}{4}$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncțiilimite de funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f:(1, \infty) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=\frac{4x^3}{(x-1)^2}$ .

Subiectul al III-lea

integralevolume

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x+1+\ln x$ .

Subiectul I

calcul numericnumere reale

Arătați că $\displaystyle \sqrt{3}(2-\sqrt{3})-2\sqrt{3}+4=1$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=5x-4$ . Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a)=a$ .

Subiectul I

ecuațiinumere reale

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x^2+4x+5}=1$ .

Subiectul I

probabilități

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea $\displaystyle A=\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$ , numărul $\displaystyle n^2$ să aparțină mulțimii $\displaystyle A$ .

Subiectul I

geometrie analitică

Punctul $\displaystyle M$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AB$ , unde $\displaystyle A(3,4)$ și $\displaystyle B(7,-4)$ . Arătați că $\displaystyle OA=OM$ , unde $\displaystyle O$ este originea sistemului de coordonate $\displaystyle xOy$ .

Subiectul I