a) Arătaţi că $\displaystyle 0 \ast 3 = -3$.

b) Determinaţi numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \ast 1 = 0$.

c) Determinaţi numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care numărul $\displaystyle N=(n+5)\ast (n-5)$ este natural.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x) = \frac{2x^2+x-3}{x+1}$, $\displaystyle x \in (-1,\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Arătaţi că $\displaystyle x^2-x \ge 2\ln(x+1)$, pentru orice $\displaystyle x \in (-1,\infty)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x)dx=12$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_1^2 \frac{1}{f(x)-x^3}dx=\frac{1}{4}$.

c) Arătaţi că aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-x^3-1}{e^x}$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle 3\left(1-\frac{1}{e}\right)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(1)+A(5)=2A(3)$.

c) Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X \cdot A(1) = A(3)$.

a) Arătați că $\displaystyle P(0)=-5$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle 1$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle P$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2=5$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}, x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{e^x} dx = \frac{4}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx = e-1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a, a>1$, pentru care $\displaystyle \int_{1}^{a} \frac{2x f(x)}{x^2+1}dx = e(e^3-1)$.