În reperul cartezian $\displaystyle XoY$ se consideră punctele $\displaystyle A(3,0)$ și $\displaystyle B(0,4)$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle AOB$.

Arătați că $\displaystyle (\sin 60^\circ + \sin 30^\circ)(\sin 60^\circ - \sin 30^\circ) = \sin^2 45^\circ \cdot \cos 45^\circ$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x \circ y=3xy-2(x+y-1)$. Arătați că $\displaystyle 1 \circ 2=2$.

Arătați că $\displaystyle e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (x \circ 2) \circ 3 = 5$.

Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle (3n+1) \circ 7$.

Demonstrați că $\displaystyle x \circ y = 3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle \frac{1}{2} \circ \frac{2}{3} \circ \frac{3}{4} \circ \frac{4}{5} = \frac{2}{3}$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a+1 & -1 \\ 1 & a-1 \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ este număr real. Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=0$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle I_2+A(a)=A(a)$.

Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a))=a$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A(a) \cdot A(a) = \begin{pmatrix} 8 & -4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}$.

Determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle X \cdot A(1) = I_2$.

Demonstrați că $\displaystyle \det(A(a)+I_2) \ge 0$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

1. Arătaţi că $\displaystyle 2-5i+(5-3i)=5$, unde $\displaystyle i^2=-1$.

2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=6x+m$, unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinaţi numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle f(2)=15$.

3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia $\displaystyle 7^{2x+1}=7^2 \cdot 7^x$.

4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cel puțin una dintre cifre egală cu $\displaystyle 1$.

5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,5)$ și $\displaystyle B(4,2)$. Determinaţi distanţa dintre punctul $\displaystyle A$ şi mijlocul segmentului $\displaystyle OB$.

6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=5$ şi $\displaystyle BC=5\sqrt{5}$. Arătaţi că $\displaystyle \sin C = \frac{\sqrt{5}}{5}$.