Exerciții

determinanțiecuațiimatrici

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} x-2 & 2-x \\ x-4 & x \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ este număr real.

Subiectul al II-lea

legi de compozițienumere reale

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = x(x-2) + y(y-2)$ .

Subiectul al III-lea

continuitatederivatefuncțiilimite de funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f: (0,+\infty) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = 2\sqrt{x} - \frac{1}{x}$ .

Subiectul al III-lea

funcțiiintegraleprimitive

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = \frac{4x}{x^2+1}$ .

Subiectul I

progresii aritmetice

Determinați termenul $\displaystyle a_1$ al progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n \geq 1}$ , cu $\displaystyle a_2=14$ și $\displaystyle a_3=18$ .

Subiectul I

funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x+2$ . Arătați că $\displaystyle (f \circ f)(5)=9$ .

Subiectul I

ecuații

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x^2+2x+1}=x-1$ .

Subiectul I

combinatorică

Determinați câte numere naturale impare, de două cifre distincte, se pot forma cu elementele mulțimii $\displaystyle A=\{1,2,3,7,9\}$ .

Subiectul I

geometrie analiticăvectori

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(2,1)$ . Determinați coordonatele punctului $\displaystyle B$ pentru care $\displaystyle \vec{AB}=2\vec{OA}$ .

Subiectul I

geometrie sinteticătrigonometrie

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$ , cu $\displaystyle BC=12$ și $\displaystyle AB = \frac{BC}{2}$ . Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 18\sqrt{3}$ .

Subiectul al II-lea

determinanțiecuațiimatrici

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(x) = \begin{pmatrix} 2^x & 0 & 0 \\ 0 & 1 & x \\ 0 & x & 1 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ este număr real.

Subiectul al II-lea

ecuațiipolinoame

Se consideră polinomul $\displaystyle P = X^3+aX^2+X+2-a$ , unde $\displaystyle a$ este număr real.

Subiectul al III-lea

derivatefuncțiilimite de funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=(x^2-2)e^{2x}$ .

Subiectul al III-lea

derivateintegralelimite de funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=x^4+6x^2+1$ .

Subiectul I

numere reale

Arătați că $\displaystyle (\sqrt{2}+2\sqrt{3})-3\sqrt{2}+2=4$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=3x+2$ și $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle g(x)=2x+3$ . Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle f(m)=g(m)$ .

Subiectul I

ecuații

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2^{4x-3}=2^2$ .

Subiectul I