a) Arătați că $\displaystyle \det\left(B(1)\right) = 7$.

b) Arătați că $\displaystyle B(2)-B(0) \cdot B(1) = 4A$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle C(a) = B(a)-aA$ nu este inversabilă.

a) Arătați că $\displaystyle 2 * 2 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 6 = x$.

c) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * (2 * x) \ge 2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2\left(4-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+x+4\right)^{2}}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că $\displaystyle f(x)-f(4-x) \le 1$, pentru orice $\displaystyle x \in [4,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{2}(x+1)f(x)\,dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx = 1+2\ln 2$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{2}\left(x^{2}-1\right)e^{x}f(x)\,dx = e(e+a)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=2$.

b) Arătați că $\displaystyle A(2)+A(0)=2A(1)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \det(A(x)+xI_{2})=2$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 3=1$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle \circ$” este comutativă.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n \circ n=2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{2(1-x)}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați intervalele de monotonie a funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1}(x^2+1)f(x)dx = \frac{5}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x)dx = \ln 3$.

c) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $\displaystyle g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=(x^2+x+1)f(x)$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ are aria egală cu $\displaystyle e+1$.