Arătați că $\displaystyle 2(1-2i) + i(4+i) = 1$, unde $\displaystyle i^2 = -1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2+ax-a$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctul $\displaystyle A(3,-3)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_2 (x^2+8) = \log_2 8 - \log_2 x$.

Determinați câte numere naturale de două cifre distincte, cu cifra zecilor pară, se pot forma cu elementele mulțimii $\displaystyle A = \{1,2,3,4,5\}$.

În sistemul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(0,3)$ și $\displaystyle B(4,0)$. Determinați coordonatele punctului $\displaystyle C$ pentru care $\displaystyle \vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$.

Se consideră triunghiul ascuțitunghic $\displaystyle ABC$, cu $\displaystyle AB=5$, $\displaystyle C=\frac{\pi}{4}$ și înălțimea $\displaystyle AD=4$. Arătați că $\displaystyle BC=7$.

Arătați că $\displaystyle 0,25:0,5+\frac{1}{2}=1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-4x$. Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle f(n)\ge n^2-8$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 2\log_3(3x-1)=\log_3(36)$.

După o scumpire cu $\displaystyle 20\%$, prețul unui produs crește cu $\displaystyle 80$ de lei. Calculați prețul final al produsului.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1,2)$, $\displaystyle B(1,m)$ și $\displaystyle C(3,6)$. Unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$, astfel încât punctul $\displaystyle C$ să fie simetricul punctului $\displaystyle A$ față de punctul $\displaystyle B$.

Arătați că $\displaystyle \sin 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \frac{1}{2}\sin 45^\circ = 0$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x\circ y = xy - x - y + 4$. Arătați că $\displaystyle 2\circ 1 = 2$.

Demonstrați că $\displaystyle x\circ y = (x-1)(y-1)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle e=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \circ$”.

Arătați că numărul $\displaystyle N = n \circ m \circ n$ este natural par, pentru orice numere naturale pare $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$.