a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1))=3$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(x) = A(0)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ pentru care $\displaystyle (A(1))^{-1}=aA(1)+bI_3$, unde $\displaystyle (A(1))^{-1}$ este inversa matricei $\displaystyle A(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \ast 2 = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați numărul natural nenul $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n \ast \frac{1}{n}=0$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{\ln x}{x^2}$, pentru $\displaystyle x \in (0, +\infty)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle + \infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \frac{\ln y}{y^2} < \frac{\ln x}{x^2}$, pentru orice $\displaystyle x,y \in (1, +\infty)$ cu $\displaystyle x < y$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{2} (f(x)-x^3) dx = 8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^2}{f(x)-x^2+2} dx = \frac{\ln 5}{3}$.

c) Se consideră funcția $\displaystyle g:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{f(x)e^{-x}}{x}$. Arătați că orice primitivă $\displaystyle G:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(0) \cdot A(0)=A(x)$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ sunt numere reale distincte astfel încât $\displaystyle \det(A(x))=\det(A(y))$, atunci $\displaystyle x+y=1$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 2 = 8$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * (-1)=4$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle x * a = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(x^2-4)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=2$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(1-x) \ge f(1+x)$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,1)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (f(x)-4x)dx=12$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-3x^2-2)e^x dx=4$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (0,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{f'(x)}{f(x)}e^{f(x)-1}dx=63$.