a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x)-1)dx = \frac{2}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 \frac{4x}{f(x)}dx = \ln 3$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$, știind că $\displaystyle \int_1^e \frac{f(\ln x)}{x} dx = \frac{n}{e^4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați mulțimea numerelor reale $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=-1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0^2+y_0^2+z_0^2=3$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \circ 1=-3$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ 1 \leq 2x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale nenule, cu $\displaystyle m \leq n$, pentru care $\displaystyle m \circ n=1$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{28x}{(x^2+5)^2}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcției $\displaystyle f$ în care tangenta la graficul funcției $\displaystyle f$ este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că ecuația $\displaystyle f(x)=0$ are soluție unică.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^2 (x^3+8)f(x)dx=8$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^4 \frac{1}{x}f(x)dx=4\ln 2$.

c) Calculați $\displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^3} \int_0^x t \cdot f(t)dt \right)$.

a) Arătați că $\displaystyle \operatorname{det}(A(2))=5$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a) - I_2 = a(A(1)-I_2)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numărul întreg $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle A(m) \cdot A(2m) = A(1)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 \circ 3 = 1$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x \circ x = 3x$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că $\displaystyle x \circ a = x$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.