a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x} dx = \frac{7}{3}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{f(x)} dx = 2$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{x} \ln(e^x) dx = \frac{e^2-5}{4}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1)) = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle 3A(2) + A(6) = 4A(3)$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A(x) \cdot A(x) = 2A(x)$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * 1 = 1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x * 2 = x$.

c) Arătați că $\displaystyle (1-x) * x \le 2$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2(e^x-1)}{e^x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=0$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$, știind că dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y = mx + n$ este asimptotă oblică spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - 3x) dx = 15$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \frac{f(x)}{x^2+3} dx = \frac{1}{3} \ln 2$.

c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g : [1, 2] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{x^3 + f(x)}{x}$ este egal cu $\displaystyle 2\pi f(3)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle B(8) - 3B(2) = 2A$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle A \cdot B(x) = B(x) \cdot A$.

a) Pentru $\displaystyle m=3$, arătați că $\displaystyle f(1)=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care rădăcinile polinomului $\displaystyle f$ verifică relația $\displaystyle x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 1$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle X+2$.