Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2+\frac{3}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_1^2 \left( f(x)-\frac{3}{x} \right) dx = \frac{7}{3}$.

b) Demonstrați că orice primitivă $\displaystyle G:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ a funcției $\displaystyle g:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} f(x)$ este crescătoare.

c) Arătați că $\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{f(x)-\frac{3}{x}} dx = \frac{\pi}{12}$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix} a & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(2))=9$.

b) Arătați că $\displaystyle A(a)+A(-a)=2A(0)$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(A(a) \cdot A(-1)-aI_2)=0$.

Se consideră polinomul $\displaystyle P=X^3+3X^2+mX-4$, unde $\displaystyle m$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle P(0)=-4$, pentru orice număr real $\displaystyle m$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle -1$ este rădăcină a polinomului $\displaystyle P$.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1^2+x_2^2+x_3^2>5$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle P$.

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=x^2-3x+4+\frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x^2}$, $\displaystyle x \in (0,\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle f(x) \le \frac{11}{4}-\ln 2$, pentru orice $\displaystyle x \in [0,1]$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\left[-\frac{3}{2}, \infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=e^{x^2+x}$ și $\displaystyle g:\left[-\frac{3}{2}, \infty\right) \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=(2x^2+3x)f(x)+\frac{6}{2x+3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=x^2+x+\mathcal{C}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^0 \frac{f(x)}{2x+3}dx$.

c) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $\displaystyle g$, axa $\displaystyle Ox$ și dreptele de ecuații $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=1$ este egală cu $\displaystyle 2(e+1)$.

Se consideră matricea $\displaystyle A(a) = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ și sistemul de ecuații $\displaystyle \begin{cases} x+ay+z=2 \\ ax+2y+z=2 \\ 2x+2y+z=2 \end{cases}$, unde $\displaystyle a$ este număr real.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=1$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care sistemul de ecuații are soluție unică.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați soluțiile $\displaystyle (x_0, y_0, z_0)$ ale sistemului pentru care $\displaystyle x_0, y_0, z_0$ sunt numere întregi și $\displaystyle x_0 > y_0 > z_0$.

Pe mulțimea $\displaystyle M=[-1,1]$ se definește legea de compoziție $\displaystyle x*y = \frac{xy}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}$.

a) Arătați că $\displaystyle 1 * \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle x*(-x) \ge -x^2$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (a,b)$ de numere din mulțimea $\displaystyle M$ pentru care $\displaystyle a*b=1$.