Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 3(x-y) + xy$. Arătați că $\displaystyle 3*0 = 3$.

Demonstrați că $\displaystyle x * y = (x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle x=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$” .

Arătați că $\displaystyle \frac{7}{3}$ este simetricul lui $\displaystyle \frac{2}{3}$ în raport cu legea de compoziție „$\displaystyle *$” .

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 9^x + 3^x = 3$.

Calculați $\displaystyle 3 * 4 * 5 * \dots * 2023$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a) = \begin{pmatrix} a+2 & 1 \\ 1 & a \end{pmatrix}$, unde $\displaystyle a$ este un număr real. Arătați că $\displaystyle \det(B(0)) = -1$.

Arătați că $\displaystyle A \cdot A = 5I_2$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \det(B(a)+A) = 0$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle B(a) \cdot B(-2) = I_2$.

Demonstrați că matricea $\displaystyle B(a-1)$ este inversabilă, pentru orice număr rațional $\displaystyle a$.

Determinați matricea $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$, știind că $\displaystyle X \cdot B(0) = A$.

Arătați că $\displaystyle 3-4i+(4-i)^2=4$, unde $\displaystyle i^2=-1$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=4x-2$. Arătați că $\displaystyle (f \circ f)(1)=0$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \log_5(x^2-2x+6)= \log_5 6$.

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 3 și cu 7.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(1,2)$, $\displaystyle B(0,0)$ și $\displaystyle C(0,B)$. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$, știind că punctul $\displaystyle A$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$, cu $\displaystyle AB=AC=10$ și $\displaystyle BC=16$. Arătați că $\displaystyle AD=6$, unde $\displaystyle AD$ este înălțime în triunghiul $\displaystyle ABC$.