a) Arătaţi că $\displaystyle \det(A(1))=-9$.

b) Determinaţi mulţimea valorilor reale ale lui $\displaystyle a$ pentru care sistemul are soluţie unică.

c) Arătaţi că, dacă sistemul are soluţia unică $\displaystyle (x_0,y_0,z_0)$, atunci $\displaystyle x_0+y_0+z_0=2$.

a) Pentru $\displaystyle m=6$, arătaţi că $\displaystyle f(-1)=0$.

b) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$ pentru care polinomul $\displaystyle f$ este divizibil cu polinomul $\displaystyle g=X^2+2$.

c) Determinaţi numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle x_1^3+x_2^3+x_3^3=0$, unde $\displaystyle x_1, x_2, x_3$ sunt rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

a) Arătaţi că $\displaystyle f'(x)=1-\frac{2x+1}{2e^x\sqrt{x+1}}$, $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

b) Determinaţi ecuaţia asimptotei oblice spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcţiei $\displaystyle f$.

c) Demonstraţi că $\displaystyle f(x)-x\le \frac{\sqrt{2}}{2}$ pentru orice $\displaystyle x\in (-1,+\infty)$.

a) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e}(3f(x)-x\ln x)dx=7$.

b) Arătaţi că $\displaystyle \int_{1}^{e}\frac{f(x)}{x^3}dx=2\left(1-\frac{1}{e}\right)$.

c) Arătaţi că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei $\displaystyle g:[1,+\infty)\to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{x+1}{f(x)}$, axa $\displaystyle Ox$ şi dreptele de ecuaţii $\displaystyle x=1$ şi $\displaystyle x=e$ are aria strict mai mare decât $\displaystyle 1$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 9$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle B(3) - B(4) = xB(1)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle B(a)$ este inversa matricei $\displaystyle C = \frac{1}{9} A$.

a) Pentru $\displaystyle m=1$, arătați că $\displaystyle f(2)=10$.

b) Pentru $\displaystyle m=-4$, determinați rădăcinile polinomului $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $\displaystyle m$, polinomul $\displaystyle f$ nu are toate rădăcinile reale.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x+2)^2}$, $\displaystyle x \in (-2, +\infty)$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{e^x} = 0$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle f$ este convexă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{3} \left(f(x) - \frac{1}{\sqrt{x+1}}\right) dx = 6$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{0}^{3} f(x) dx$.

c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $\displaystyle Ox$ a graficului funcției $\displaystyle g: [0,3] \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = f(x)$, este egal cu $\displaystyle \pi \left(\frac{91}{3} + \ln 4\right)$.