3Subiectul I5p·2023 · Model · Pedagogicecuații Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1+3=5\displaystyle 2\sqrt{x-1}+3=52x−1+3=5. ▶Arată rezolvarea
4Subiectul I5p·2023 · Model · Pedagogicprobabilități Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,...,2022}\displaystyle M=\{1,2,3,...,2022\}M={1,2,3,...,2022}, acesta să fie multiplu de 2\displaystyle 22.
5Subiectul I5p·2023 · Model · Pedagogicgeometrie analitică În reperul cartezian xOy\displaystyle xOyxOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3)A(1,3), B(−2,−1)\displaystyle B(-2,-1)B(−2,−1) și C(1,−1)\displaystyle C(1,-1)C(1,−1). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABCABC este dreptunghic.
6Subiectul I5p·2023 · Model · Pedagogicgeometrie sinteticătrigonometrie Lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABCABC este 5\displaystyle 55, iar BC=10\displaystyle BC=10BC=10. Calculați sinA\displaystyle \sin AsinA.
1Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogicaritmetică Arătați că (−6)⋅(−5)−6=24\displaystyle (-6) \cdot (-5) - 6 = 24(−6)⋅(−5)−6=24. ▶Arată rezolvarea
2Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogiclegi de compoziție Demonstrați că x∘y=(x+8)(y+8)−8\displaystyle x \circ y = (x+8)(y+8)-8x∘y=(x+8)(y+8)−8, pentru orice numere reale x\displaystyle xx și y\displaystyle yy.
3Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogiclegi de compoziție Arătați că e=−7\displaystyle e=-7e=−7 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ∘”. ▶Arată rezolvarea
4Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogicinecuațiilegi de compoziție Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația x∘(x+2)≤−8\displaystyle x \circ (x+2) \le -8x∘(x+2)≤−8. ▶Arată rezolvarea
5Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogicecuațiilegi de compoziție Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x∘(−7)=16\displaystyle 2^x \circ (-7)=162x∘(−7)=16. ▶Arată rezolvarea
6Subiectul al II-lea5p·2023 · Model · Pedagogicecuațiilegi de compoziție Determinați numărul real a\displaystyle aa pentru care 2a∘(−1)=a∘(a−2)\displaystyle 2a \circ (-1) = a \circ (a-2)2a∘(−1)=a∘(a−2).
1Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicdeterminanțimatrici Arătați că detA=−6\displaystyle \det A = -6detA=−6. ▶Arată rezolvarea
2Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicmatrici Demonstrați că M(x)=(13x2xx+1)\displaystyle M(x) = \begin{pmatrix} 1 & 3x \\ 2x & x+1 \end{pmatrix}M(x)=(12x3xx+1), pentru orice număr real x\displaystyle xx.
3Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicmatrici Arătați că suma elementelor matricei B\displaystyle BB este pătratul unui număr natural, unde B=(−1)⋅M(1)⋅M(1)\displaystyle B=(-1) \cdot M(1) \cdot M(1)B=(−1)⋅M(1)⋅M(1).
4Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicdeterminanțiecuațiimatrici Determinați numărul real x\displaystyle xx pentru care det(M(x))=0\displaystyle \det(M(x))=0det(M(x))=0. ▶Arată rezolvarea
5Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicdeterminanțimatrici Arătați că matricea C\displaystyle CC este inversabilă, unde C=M(1)−M(2)+M(3)−M(4)\displaystyle C=M(1)-M(2)+M(3)-M(4)C=M(1)−M(2)+M(3)−M(4).
6Subiectul al III-lea5p·2023 · Model · Pedagogicmatricisisteme de ecuații liniare Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b)(a,b) de numere naturale pentru care aM(b)+bM(a)=I2\displaystyle aM(b)+bM(a)=I_2aM(b)+bM(a)=I2.
1Subiectul I5p·2023 · Model · Șt. Naturiiprogresii geometrice Arătaţi că numerele 5−26\displaystyle 5 - 2\sqrt{6}5−26, 1\displaystyle 11 şi 5+26\displaystyle 5 + 2\sqrt{6}5+26 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.
2Subiectul I5p·2023 · Model · Șt. Naturiiecuațiifuncții Se consideră funcţia f:R→R\displaystyle f:ℝ→ ℝf:R→R, f(x)=ax+1\displaystyle f(x)=ax+1f(x)=ax+1, unde a\displaystyle aa este număr real nenul. Determinaţi numărul real nenul a\displaystyle aa pentru care (f◦f)(1)=1\displaystyle (f◦ f)(1)=1(f◦f)(1)=1.
3Subiectul I5p·2023 · Model · Șt. Naturiiecuații Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2x⋅Z∕⋅Z(14)2−x=32\displaystyle 2^{x}· ℤ ∕ · ℤ \left(\frac{1}{4}\right)^{2-x}=322x⋅Z∕⋅Z(41)2−x=32.
4Subiectul I5p·2023 · Model · Șt. Naturiicombinatorică Determinaţi numărul de submulţimi ordonate, cu câte două elemente, care se pot forma cu elementele mulţimii M={0,1,2,3,4}\displaystyle M = \{0,1,2,3,4\}M={0,1,2,3,4}. ▶Arată rezolvarea