a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle 2A(4)+A(-2)=aA(2)$.

c) Arătați că, dacă $\displaystyle X \in M_2(\mathbb{R})$ astfel încât $\displaystyle X \cdot A(1) = A(0)$, unde $\displaystyle m$ este număr întreg, atunci matricea $\displaystyle X$ are toate elementele numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle 2*1=1$.

b) Arătați că legea de compoziție „$\displaystyle *$” este comutativă.

c) Determinați numerele naturale $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*(n-1) \geq n^2$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{x^2-x-6}{x^3}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \ln x \leq \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} - \frac{x^2-x-6}{x^3}$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 (f(x) - e^x)dx = \frac{1}{2}$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 x(2f(x)-1)dx = \frac{5}{3}$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \int_{-1}^0 (f(x)-x) \cdot f(x)dx = \frac{(3e+1)(3e+a)}{8e^2}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det(A(0))=5$.

b) Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care matricea $\displaystyle A(a)$ este inversabilă.

c) Determinați numerele reale $\displaystyle b$ și $\displaystyle c$ pentru care sistemul de ecuații este compatibil, oricare ar fi numărul real $\displaystyle a$.

a) Arătați că $\displaystyle P(-1)=-15$, pentru orice număr real $\displaystyle a$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care restul împărțirii polinomului $\displaystyle P$ la polinomul $\displaystyle g=X^2-1$ este egal cu $\displaystyle 15X$.

c) Arătați că, pentru orice număr real $\displaystyle a$, polinomul $\displaystyle P$ nu are toate rădăcinile numere întregi.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = x-\frac{4}{(x^2+1)^2}$, $\displaystyle x\in\mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ care este paralelă cu axa $\displaystyle Ox$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \operatorname{tg}(f(x))\ge f(x)\operatorname{tg}(x)$, pentru orice $\displaystyle x\in[0,1]$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1(1+e^{-x})f(x)dx=8+e^3$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{-m}^m \frac{f(x)}{x^2+e^x}dx=m$, pentru orice $\displaystyle m\in(0,+\infty)$.

c) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle \lim_{x\to 0} \left( \frac{1}{e^{ax}-1} \int_0^x f(t)dt \right)=1$.