5. Determinați cel mai mare număr natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle n*n*n \leq 1$.

6. Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle m*n= -1$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

1. Arătați că $\displaystyle \det(A)=-7$.

2. Arătați că $\displaystyle \det(A+xI_2) \geq -7$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

3. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle A \cdot A = aI_2$.

4. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle \det(mI_2-A)=\det(A+I_2)$.

5. Se consideră matricea $\displaystyle M = \begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$, astfel încât $\displaystyle A \cdot M = M \cdot A$. Arătați că $\displaystyle y=0$.

6. Determinați pentru câte valori întregi ale lui $\displaystyle a$ obținem $\displaystyle \det((aA)^2)=-28$.

Calculați termenul $\displaystyle b_4$ al progresiei geometrice $\displaystyle (b_n)_{n \geq 1}$, știind că $\displaystyle b_1 = \sqrt{2}$ și $\displaystyle b_2 = 4$.

Se consideră funcția $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = nx^2 - 2x + 1$, unde $\displaystyle m$ este număr real nenul. Determinați numărul real nenul $\displaystyle m$ pentru care axa $\displaystyle Ox$ este tangentă graficului funcției $\displaystyle f$.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x^2 - 3x - 1} = 3^{3 - 6^2 - 4}$.

Se consideră mulțimea $\displaystyle A = \{1, 2, 3, \ldots, 2n\}$, cu $\displaystyle n$ număr natural nenul. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $\displaystyle A$, numărul $\displaystyle 2n^2 - 60$ să aparțină mulțimii $\displaystyle A$.

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(-1, 4)$, $\displaystyle B(5, 2)$ și $\displaystyle C$. mijlocul segmentului $\displaystyle AB$. Determinați ecuația dreptei $\displaystyle d$ care trece prin punctul $\displaystyle C$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle AB$.

Se consideră triunghiul isoscel $\displaystyle ABC$, cu măsura unghiului $\displaystyle A$ egală cu $\displaystyle 120^\circ$ și $\displaystyle AB = 6$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 9\sqrt{3}$.

Calculați termenul $\displaystyle a_3$ al progresiei aritmetice $\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}$, ştiind că $\displaystyle a_1 = 6$ şi $\displaystyle a_2 = 9$.

Se consideră funcțiile $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x) = x^2 + 2x - 3$ şi $\displaystyle g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x) = x - 3$. Determinați numerele reale $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a) = g(a)$.