În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=3x-2$ și punctul $\displaystyle A(a,a)$, unde $\displaystyle a$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle a$, știind că punctul $\displaystyle A$ aparține dreptei $\displaystyle d$.

Se consideră triunghiul isoscel $\displaystyle ABC$, cu $\displaystyle AB=10$ și $\displaystyle \cos A = 0$. Arătați că aria triunghiului $\displaystyle ABC$ este egală cu $\displaystyle 50$.

5p 1. Arătați că $\displaystyle \sqrt{18} + \sqrt{8} = 5\sqrt{2}$.

5p 2. Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=3x-2$. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care $\displaystyle f(a)-f(2)=12$.

5p 3. După o reducere cu $\displaystyle 20\%$ prețul unui obiect scade cu $\displaystyle 28$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

5p 4. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 4^{2x-1}=64$.

5p 5. În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctul $\displaystyle A(2,3)$ și dreapta $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=2x+1$. Determinați ecuația dreptei ce trece prin punctul $\displaystyle A$ și este perpendiculară pe dreapta $\displaystyle d$.

5p 6. Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$ cu măsura unghiului $\displaystyle B$ de $\displaystyle 30^\circ$ și $\displaystyle BC=10$. Calculați aria triunghiului $\displaystyle ABC$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x*y=xy-\sqrt{3}(x+y)+3$. 5p 1. Arătați că $\displaystyle 1*0=3$.

5p 2. Demonstrați că $\displaystyle x*y= (x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

5p 3. Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle x*x=\sqrt{3}$.

5p 4. Arătați că $\displaystyle \sqrt{3}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle *$”.

5p 5. Arătați că $\displaystyle x*\sqrt{3}=\sqrt{3}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

5p 6. Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle \sqrt[3]{3}*\sqrt[3]{5}*...*\sqrt[3]{2022}=\sqrt{n}$.

Se consideră matricele $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}$, $\displaystyle B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 5p 1. Arătați că $\displaystyle \det A=1$.

5p 2. Arătați că $\displaystyle A-2A^t = -I_2$.