Exerciții

determinanțimatrici

Se consideră matricea $\displaystyle A(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ x-1 & 1 \end{pmatrix}$ , unde $\displaystyle x$ este număr real.

Subiectul al II-lea

ecuațiilegi de compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă și cu element neutru $\displaystyle x \ast y = xy - \sqrt{2}(x+y) + 2$ .

Subiectul al III-lea

continuitatederivatefuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\ln(x^2+1)\right)$ .

Subiectul al III-lea

funcțiiintegrale

Se consideră funcția $\displaystyle f:(0, +\infty)\to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x) = \frac{2\ln x}{x^3}$ și funcția $\displaystyle F:(0, +\infty) \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle F(x) = \frac{\ln x}{x^2}$ , o primitivă a lui $\displaystyle f$ .

Subiectul I

calcul algebricradicali

Arătați că $\displaystyle (\sqrt{8}+1)(\sqrt{2}-1)-\sqrt{36}=1$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Se consideră funcțiile $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=5x-1$ și $\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle g(x)=5+2x$ . Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $\displaystyle f$ și $\displaystyle g$ .

Subiectul I

ecuațiiradicali

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x^2+6x}=x$ .

Subiectul I

probabilități

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea $\displaystyle A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ , numărul $\displaystyle 4\cdot n$ să fie element al mulțimii $\displaystyle A$ .

Subiectul I

geometrie analitică

În reperul cartezian $\displaystyle xOy$ se consideră punctele $\displaystyle A(2,1)$ , $\displaystyle B(3,4)$ și $\displaystyle C$ , astfel încât punctul $\displaystyle A$ este mijlocul segmentului $\displaystyle BC$ . Arătați că triunghiul $\displaystyle AOC$ este dreptunghic isoscel.

Subiectul I

ecuațiitrigonometrie

Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \sin 30^\circ = \cos 60^\circ \cdot x$ .

Subiectul al II-lea

determinanțimatrici

Se consideră matricile $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$ , $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle B(a) = \begin{pmatrix} 0 & a-2 \\ 1 & 3a \end{pmatrix}$ unde $\displaystyle a$ este număr real.

Subiectul al II-lea

legi de compoziție

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $\displaystyle x \circ y = (x+1)(y+1)-1$ .

Subiectul al III-lea

derivatefuncțiilimite de funcții

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=(x-1)e^x - \frac{x^2}{2}$ .

Subiectul al III-lea

derivateintegraleprimitive

Se consideră funcția $\displaystyle f:(-4,+\infty)\to\mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+4}$ .

Subiectul I

calcul numeric

Arătați că $\displaystyle 8-6\sqrt{6}+6(\sqrt{6}-1)=2$ .

Subiectul I

ecuațiifuncții

Se consideră funcția $\displaystyle f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $\displaystyle f(x)=3x+m$ , unde $\displaystyle m$ este număr real. Determinați numărul real $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle (f \circ f)(0)=4$ .

Subiectul I

ecuațiilogaritmi

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{2x+4}=4^x$ .

Subiectul I