Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle 3^{x+2} \cdot 2^{x+1} + 6^x \cdot 6 = 120$.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $\displaystyle n$ din mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 114, acesta să fie divizibil cu 4.

Determinați numărul natural $\displaystyle a$, știind că mulțimea $\displaystyle M(a, 15)$ aparține dreptei $\displaystyle d$ de ecuație $\displaystyle y=3x+2a$.

Se consideră triunghiul $\displaystyle ABC$ dreptunghic în $\displaystyle A$, cu $\displaystyle AB=3$ și $\displaystyle AC=4$. Se știe că $\displaystyle \sin A < \frac{3}{5}$. Arătați că $\displaystyle \sin B A D=\frac{2}{3}$.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $\displaystyle x * y = 2xy - x - y + 1$.

Demonstrați că $\displaystyle x \cdot \frac{1}{2} \left( x-\frac{1}{2} \right) + \frac{1}{2} \left( x-\frac{1}{2} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} x \left( x-\frac{1}{2} \right) + \frac{1}{4}$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

Arătați că $\displaystyle e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție ".".

Arătați că $\displaystyle x \cdot \frac{1}{2} \left( x-\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2} x \left( x-\frac{1}{2} \right)$ pentru orice număr real $\displaystyle x$.

Calculați $\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \ldots \cdot \frac{2020}{2022}$.

Determinați numărul real strict pozitiv $\displaystyle x$, pentru care $\displaystyle (\log_2 x + \frac{1}{2}) (\log_3 x + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \log_2 x - \log_3 x$.

Se consideră matricele $\displaystyle I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $\displaystyle A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Arătați că $\displaystyle A \cdot A = 4 I_2$.

Arătați că $\displaystyle aI_2 + A \cdot A = M(a)$ unde $\displaystyle M(a) = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{pmatrix}$ și $\displaystyle a$ este un număr real.

Arătați că $\displaystyle M(2) \cdot M(4) = (4I_2 + A)(4I_2 + A)$.

Determinați perechile $\displaystyle (a, b)$ de numere naturale pentru care $\displaystyle A cdot M(a) \cdot A = (a+b) cdot I_2 + A$.

Determinați numărul natural $\displaystyle k$ pentru care det$\displaystyle (M(k+2)) = k(k+2) cdot 0$.

Determinați numărul real $\displaystyle a$, $\displaystyle a<-2$, astfel încât matricea $\displaystyle M(a)$ este matricea $\displaystyle A-2 \cdot A$.

5p 1. Arătați că numărul $\displaystyle N = \log_2 24 - \log_2 12 + 3$ este pătratul unui număr natural.

5p 2. Determinați numărul real $\displaystyle a$ pentru care punctul $\displaystyle A(a, a^2)$ aparține graficului funcției $\displaystyle f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle f(x)=2x-1$.

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\displaystyle \sqrt{x^2-2x-2}=x-2$.

5p 4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $\displaystyle A=\{1!, 2!, 3!, ..., 10!\}$, acesta să fie divizibil cu 9.