a) Arătați că $\displaystyle \det(A(x)) = x$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

b) Determinați numărul real nenul $\displaystyle a$ astfel încât $\displaystyle A(x) \cdot A(y) = A(x + y)$, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$.

c) Pentru $\displaystyle a=1$, determinați matricea $\displaystyle X \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ pentru care $\displaystyle A(2) \cdot X = A(3)$.

a) Arătați că $\displaystyle 0 \ast 2021 = 2021$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\displaystyle \ast$”.

c) Determinați $\displaystyle x \in M$ pentru care $\displaystyle x \ast (x + 1) \ast (x + 2) = \log_2 54$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}$, pentru orice $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle -\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \sqrt{2} \le \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1} \le \sqrt{6}$, pentru orice număr real $\displaystyle x$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{e} (f(x) + \ln x) \, dx = e^2 + 3e - 4$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{1}^{e} (2x + 3 - f(x)) \, dx$.

c) Arătați că $\displaystyle \int_{0}^{1} x^2 f(x^3 + 1) \, dx = \frac{4(2 - \ln 2)}{3}$.

a) Arătați că $\displaystyle \det B = 1$.

b) Demonstrați că $\displaystyle A(z_1) \cdot A(z_2) = A(z_1z_2)$, pentru orice numere complexe $\displaystyle z_1$ și $\displaystyle z_2$.

c) Determinați numărul natural $\displaystyle n$ pentru care $\displaystyle A(1+i) \cdot A(2+i) \cdot A(3-i) \cdot A(2-i) \cdot A(3-i) = nI_3$.

a) Arătați că $\displaystyle x*y = \log_2( (2^{x^2}-2)(2^{y^2}-2)+2)$, pentru orice $\displaystyle x,y \in M$.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție ,,*''.

c) Arătați că $\displaystyle x*x*x < 3x$, pentru orice $\displaystyle x \in M$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=(2-x)(x^2-x+1)e^{-x}$, $\displaystyle x \in \mathbb{R}$.

b) Arătați că $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{f'(x)} \cdot e^x = e^{-2}$.

c) Demonstrați că funcția $\displaystyle g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{e^{-x}}-1$ are un singur punct de extrem.

a) Arătați că $\displaystyle \int_2^3 \frac{f(x)}{x}dx = 10$.

b) Demonstrați că $\displaystyle F(\sqrt{7}) < F(3)$, pentru orice primitivă $\displaystyle F$ a funcției $\displaystyle f$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle m$, știind că $\displaystyle \int_2^3 f(x)dx = m(4 \ln 2-1)$.