a) Arătați că $\displaystyle \det(A(1,1))=0$.

b) Demonstrați că, dacă matricea $\displaystyle A(x,y)$ este inversabilă, atunci $\displaystyle x \neq |y|$.

c) Determinați perechile $\displaystyle (m,n)$ de numere întregi, pentru care $\displaystyle A(m,n) \cdot A(m,-n)=I_2$.

a) Arătați că $\displaystyle 2 \circ 0 = 2$.

b) Arătați că $\displaystyle x \circ 1 \ge 5$, pentru orice $\displaystyle x \in A, x \neq 0$.

c) Demonstrați că, dacă $\displaystyle m$ și $\displaystyle n$ sunt numere naturale impare, atunci $\displaystyle m \circ n$ este număr natural impar.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x)=\frac{3(x-1)(x+1)}{x}$, $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $\displaystyle f$ în punctul de abscisă $\displaystyle x=1$, situat pe graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Demonstrați că $\displaystyle x^2 \ge 3 \ln x+1$, pentru orice $\displaystyle x \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \int_0^1 f(x) e^{-x} dx = \frac{1}{2}$.

b) Calculați $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) dx$.

c) Demonstrați că $\displaystyle \int_{-1-a}^{-1+a} f(x) dx \ge -\frac{2a}{e}$, pentru orice $\displaystyle a \in (0,+\infty)$.

a) Arătați că $\displaystyle \det A = 3$.

b) Arătați că $\displaystyle 3B(2)+B(6) = 4B(3)$.

c) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle \left(B(-x)-B(x)\right) \cdot \left(B(-x)+B(x)\right) = A+B(3)$.

a) Arătați că $\displaystyle 3 \circ 4 = 0$.

b) Determinați numărul real $\displaystyle x$ pentru care $\displaystyle (2x) \circ x = 5$.

c) Determinați numerele întregi $\displaystyle m$ pentru care $\displaystyle m^{2} \circ 1 \ge 1 \circ m^{2}$.

a) Arătați că $\displaystyle f'(x) = \frac{2}{(3x+1)^{2}}$, $\displaystyle x \in \left(-\frac{1}{3},+\infty\right)$.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $\displaystyle +\infty$ la graficul funcției $\displaystyle f$.

c) Arătați că funcția $\displaystyle f$ este concavă.

a) Arătați că $\displaystyle \int_{1}^{4}\left(f(x)-\ln x+1\right)dx = 21$.

b) Arătați că $\displaystyle \int_{2}^{4} \frac{x}{f(x)-\ln x}\,dx = \frac{1}{2}\ln 5$.

c) Determinați $\displaystyle a \in (1,+\infty)$ pentru care $\displaystyle \int_{1}^{a} \frac{f(x)}{x^{2}}\,dx = \frac{a-\ln a}{a}$.